基礎から学ぶ統計学

本書の使い方

統計学を学ぶ心がけ／予備知識／本書の学び方／のんびり取り組む／本書の難所／練習問題を解く／数学が得意なら／ご協力ください

序章　はじめに

１．統計学の必要性

２．散らばり（バラツキ）

３．基本的な用語と概念

①観測値と標本　②母集団　③統計学の目的　④統計学の理論を支える土台　⑤単純無作為標本

４．本書の２本柱

①平均の比較　②2変数の関係

５．検定統計量

第Ⅰ部　統計的仮説検定の論理

１章　検定の論理（二項検定を教材として）

１．例題1：B薬はA薬より有効か？

①例題1.1：18人に効果がある場合　②例題1.2：14人に効果がある場合　③例題の解答

２．二項分布

①二項係数 _nC_x　②コブ斜面を降りる　③ゴール2へ降りる確率　④二項分布　⑤二項分布の応用

３．期待値 E[X]

４．練習問題 A

５．二項検定

①STEP1：帰無仮説H₀と対立仮説H_A　②STEP2：検定統計量　③STEP3：帰無分布　④二項分布の特徴　⑤STEP4：棄却域と有意水準　⑥STEP5：有意差の有無の判断

６．検定の論理（まとめ）

７．練習問題 B

２章　検定統計量（Wilcoxon-Mann-Whitney検定を教材として）

１．例題2：肥料Aと肥料Bの収量に差はあるか？

①栽培実験　②基本的な用語と記号

２．WMW検定の目的

①2つの母集団　②2つの標本　③2つの可能性

３．検定統計量

４．WMW検定の手順

①帰無仮説H₀と対立仮説H_A　②ノンパラメトリック統計　③WMW検定の手順　④STEP1：検定統計量Uの計算　⑤Uの定義　⑥STEP 2：Uの臨界値U_0.05　⑦STEP3：有意差の有無の判断

５．練習問題 C

６．数学者たちに感謝

７．WMW検定の定性的理解

①可能な結果の全て　②検定統計量Uの性質　③帰無分布　④棄却域

８．WMW検定の実践的な技術

①標本サイズnが大きい場合のU₁とU₂の計算　②タイ（等しい値）がある場合のUの計算

９．WMW検定を発明した自然科学者たち

①Frank Wilcoxon　②Henry Berthold Mann と Donald Ransom Whitney

10．統計学を学ぶための心がけ

11．WMW検定の手順（まとめ）

12．練習問題 D

３章　第１種の過誤と第２種の過誤

１．検定の論理の復習

①二項検定の復習　②説明のスタイル

２．4つの可能性

３．第1種の過誤

①帰無仮説H₀が間違っているとき　②帰無仮説H₀が正しいときの「有意差なし」　③帰無仮説H₀が正しいときの「有意差あり（P<0.05）」　④「有意差あり（P<0.05）」の意味

４．第2種の過誤

①帰無仮説H₀が正しいとき　②帰無仮説H₀が間違っているときの「有意差あり（P<0.05）」　 ③帰無仮説H₀が間違っているときの「有意差なし」　④第1種の過誤と第2種の過誤の性質の違い　⑤「有意差なし」は帰無仮説H₀の証明ではない

５．データの解釈と言葉遣いに、気をつける

①「有意差あり（P<0.05）」のとき　②「有意差なし」のとき

第Ⅱ部　統計学の理論的基礎

４章　平均・分散・標準偏差・自由度

１．例題4：3つの観測値

２．母集団と標本

３．平均

①母平均μ（算術平均）　②母平均μ（期待値）　③標本平均x　④不偏推定量

４．分散と標準偏差の基礎

①μが既知だと仮定する　②偏差　③平均偏差（偏差を絶対値で正にする）　④分散（偏差を2乗で正にする）　⑤標準偏差

５．母分散σ ²と母標準偏差σ

①偏差と偏差平方和SS　②母分散σ ²（算術平均）　③母分散σ ²（期待値）　④母標準偏差σ

６．標本分散s²と標本標準偏差s

①偏差の起点に代役を使う　②偏差平方和SSと自由度df

７．母数と統計量

①母数　②統計量

８．自由度dfの概念を確立してきた自然科学者たち

①Friedrich Bessel　②Ronald Aylmer Fisher

９．自由度df

①制約条件と自由度　②偏差に課された制約条件　③統計学における自由度の意味

10．標本分散s² の計算の手順（まとめ）

11．練習問題 E

５章　正規分布と統計理論の初歩

１．正規分布

①二項分布から正規分布へ　②確率密度　③母数（パラメータ）　④±σ・± 2 σ・± 3 σの範囲

２．標準正規分布

①μ =0 でσ =1 の正規分布　②標準正規分布表　③臨界値 z_0.05

３．練習問題 F

４．標準化

①標準化の簡単な例題　②標準化の視覚的な理解　③標準化して得たzが従う確率分布

５．練習問題 G

６．定理1：標本平均が従う確率分布

①標本平均は散らばりが小さい　②散らばりが小さくなる理由　③標本平均xが従う確率分布　④大数の法則　⑤標本分布と標準誤差

７．練習問題 H

８．定理2：中心極限定理

９．定理3：正規分布の再生性

10．練習問題 I

11．定理4：2つの標本平均の差が従う確率分布

12．練習問題 J

13．定理（まとめ）

６章　t分布と母平均μの95% 信頼区間

１．例題6：7つの観測値の背後にいる母平均μは？

２．母標準偏差σが既知の場合の95% 信頼区間

①前提条件　②標本平均の確率分布　③標本平均の標準化　④σが既知の95% 信頼区間　⑤例題の解答（σが既知の場合）

３．練習問題 K

４．σをsで代用してみる

①σはsで代用するしかないが　②σをsで代用した標準化

５．Gosset が発明したt分布

①Karl Pearson　②William Sealy Gosset

６．標準化とStudent 化（まとめ）

７．t分布の定性的理解

①t分布は背が低くて幅が広い　②t分布は標本サイズnによって形が少しずつ変化する　③母数（パラメータ）は自由度df　④臨界値 t_0.05（df）

８．母標準偏差σが未知の場合の95% 信頼区間

①公式の導出　②例題の解答（σが未知の場合）

９．95% 信頼区間の「95%」の意味

10．母平均μの95% 信頼区間の手順（まとめ）

11．練習問題 L

第Ⅲ部　母平均μに対する統計解析

７章　関連2群のt検定（対応のあるt検定）

１．関連2群（対応のあるデータ）の特徴

①例題7.1：サプリメントの効果　②例題7.2：肥料の効果

２．対応する2つの観測値の差d

①観測値の差に注目　②2つの可能性

３．帰無仮説H₀と対立仮説H_A

①前提条件　②帰無仮説H₀と対立仮説H_A

４．σ _dが既知の場合

①検定統計量と帰無分布　②例題の解答（σ _dが既知の場合）

５．練習問題 M

６．σ _dが未知の場合

①検定統計量tと帰無分布　②関連2群のt検定の手順（まとめ）　③例題の解答（σ _dが未知の場合）

７．練習問題 N

８．検定統計量tの定性的理解（3つの判断基準）

①差dの標本平均の効果　②差dの標本標準偏差の効果　③標本サイズの効果

９．検定統計量tの性質（まとめ）

８章　独立2群のt検定（対応のないt検定）

１．独立2群（対応のないデータ）の特徴

①例題8.1：サプリメントの効果　②例題8.2：精神障害

２．標本平均の差

①2つの可能性　②独立2群のt検定の前提条件　③標本平均の差の確率分布

３．帰無仮説H₀と対立仮説H_A

４．σが既知の場合

①検定統計量zと帰無分布　②例題の解答（σが既知の場合）

５．練習問題 O

６．σが未知の場合

①σの推定（その1）：2つの標本標準偏差　②σの推定（その2）：合算標準偏差s_p　③検定統計量tと帰無分布　④独立2群のt検定の手順（まとめ）　⑤例題の解答（σが未知の場合）

７．練習問題 P

８．検定統計量tは煩雑

９．練習問題 Q：Studentのtをシンプルにする

10．検定統計量tの定性的理解（3つの判断基準）

①標本平均の差　②標本標準偏差　③標本サイズ

11．検定統計量tの性質（まとめ）

９章　P値

１．検定の枠組み

２．2 択だけの判断は不十分

①有意差がない場合　②有意差がある場合

３．P値

①P値の定義　②P値を得たら、まず0.05と比較する　③例題8.1の場合　④「有意差あり」の表記法　⑤「有意差なし」の表記法

10章　一元配置分散分析

１．一元配置分散分析のデータの特徴

①例題10.1：サプリメントの効果　②例題10.2：ニジマスに与える餌

２．2つの可能性

３．一元配置分散分析の前提条件

４．帰無仮説H₀と対立仮説H_A

５．新しい記号：k, N, x

①標本の数（群）k　②観測値の総数Nと総平均x

６．一元配置分散分析の大まかな流れ

①誤差平均平方（群内分散）MS_within　②処理平均平方（群間分散）MS_between　③全平均平方MS_total　④分散分析表　⑤検定統計量F

７．誤差平均平方（群内分散）MS_within

①偏差平方和 SS_within　②自由度 df_within　③誤差平均平方（群内分散）MS_within

８．練習問題 R

９．処理平均平方（群間分散）MS_between

①予備知識の復習　②母分散σ ²の推定　③処理平均平方（群間分散）MS_between　④偏差平方和SS_betweenと自由度df_between

10．練習問題 S

11．全平均平方 MS_total

12．練習問題 T

13．分散分析表と検定統計量F

14．検定統計量Fの定性的理解

①分母のMS_within の役割　②分子のMS_between の役割　③例題10.1の場合　④F分布と臨界値F_0.05

15．一元配置分散分析の手順（まとめ）

16．練習問題 U

17．標本サイズが不揃いのときの計算

11章　多重比較（Bonferroni 補正とTukey-Kramer 法）

１．多重比較のデータの特徴

①例題11.1：サプリメントの効果　②例題：11.2．ニジマスに与える餌

２．アルファベットを使った結果の表示

３．多重比較の出発点

４．多重性という課題

①帰無仮説H₀が正しいとき　②第1種の過誤と有意水準α　③FWER（全体としての有意水準）　④ライフルで的を狙う　⑤多重性（まとめ）

５．Bonferroni 補正

①Bonferroni補正の方法　②多重比較の欠点

６．Tukey-Kramer法

①Tukey-Kramer法の前提条件　②帰無仮説H₀と対立仮説H_A　③検定統計量q

７．Tukey–Kramer法の計算

①対戦表　②検定統計量qの分子　③検定統計量qの分母　④検定統計量q　⑤臨界値q_0.05（k,df_within）

８．Tukey–Kramer法の手順（まとめ）

９．アルファベットの割り当て

①割り当ての方法　②アルファベットの役割（まとめ）

10．練習問題 V

第Ⅳ部　2 つの変数x とy の間の関係

12章　相関分析

１．例題12：2 つの変数の関係は？

①例題12.1：かき氷の売上と気温　②例題12.2：ホタルと農薬

２．新しい記号：（x_i, y_i）

３．正の相関と負の相関

４．強い相関と弱い相関

５．相関係数rの性質

６．標本共分散s_xy

①偏差の積　②偏差の積の和　③自由度　④共分散の性質（その1）：無相関のとき　⑤共分散の性質（その2）：正の相関があるとき　⑥共分散の性質（その3）：負の相関があるとき

７．相関係数r

①共分散s_xyは単位に依存する　②s_xyを標準偏差s_xとs_yで割る理由

８．相関係数rの計算

９．練習問題W

10．相関の検定

①相関分析の前提条件　②母相関係数ρ　③帰無仮説H₀と対立仮説H_A　④検定統計量tと帰無分布　⑤例題12.1 の解答

11．より簡便な検定方法

12．練習問題 X

13．線形 vs. 非線形（相関係数rの苦手な状況）

14．対数変換

①実例（その1）：北海道の湖沼　②実例（その2）：ガラパゴス諸島

15．Spearman の順位相関係数

①順位で散布図を描く　②順位相関係数r_sの計算

16．相関は因果関係の証明にはならない

13章　単回帰分析

１．例題13：他の変数から予測できるか？

①例題13.1：かき氷の売上と気温　②例題13.2：定量実験における基本的な作業

２．単回帰分析の前提条件

３．最小2乗法

４．回帰直線の性質

①回帰直線が通る点　②回帰直線の傾き

５．xとyを逆にしない

６．y^-切片aと傾きbの計算

７．内挿と外挿

８．決定係数 r²

①全平方和 SS_total　②残差平方和 SS_residual　③回帰平方和 SS_regression　④回帰の恒等式　⑤決定係数（その1）：一般的な定義　⑥決定係数（その2）：もう1つの定義　⑦決定係数（その3）：実際の計算方法

９．練習問題 Y

10．単回帰分析における検定と推定

①計算に必要な2つの統計量SS_xとMS_residual　②傾きbの必要性を確認する検定　③母回帰係数βの95% 信頼区間　④条件付き期待値E[y|x] の95% 信頼区間（信頼帯）　⑤観測値y の95% 予測区間（予測帯）

付録　解答と付表

解答

付表

索引

Column

●片側検定は要注意！

●レポートや学術論文、研究につなぐ

●期待値を使った母平均μをもう少し詳しく

●「不偏分散」という隠語

●離散型と連続型の母平均μと母分数σ²の定義

●別々の偏差平方和を計算する理由

●合算標準偏差s_pのもう１つの定義式

● SS_withinの実際の計算

● SS_betweenの実際の計算

● SS_totalの実際の計算